Comment calculer la distance entre deux coordonnées (formule de haversine)

Vous avez deux coordonnées GPS — à quelle distance sont-elles l'une de l'autre ? La réponse tient dans une formule utilisée par les pilotes, les marins et toutes les applications cartographiques : la formule de haversine, qui calcule la distance orthodromique à la surface de la Terre. Voici comment elle fonctionne, avec un exemple vérifiable.

Une ligne droite sur une sphère : l'orthodromie

Sur une carte plate, le chemin le plus court entre deux points est une droite. Sur une sphère, c'est un arc de grand cercle — le cercle obtenu en coupant la sphère par son centre et les deux points. C'est pourquoi les vols long-courriers entre Paris et Tokyo passent au-dessus de la Sibérie au lieu de suivre une droite sur la carte : la route « courbée » est en réalité la plus courte.

La formule de haversine

Pour deux points de latitude φ et de longitude λ (en radians) :

a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2)
d = 2R · asin(√a)

où R est le rayon moyen de la Terre, 6 371 008,8 mètres. La formule assimile la Terre à une sphère, ce qui n'introduit qu'environ 0,5 % d'erreur par rapport à la forme ellipsoïdale réelle — négligeable pour presque tous les usages pratiques.

Exemple détaillé : Paris – Marseille

• Paris : 48.8566, 2.3522
• Marseille : 43.2965, 5.3698

Étape par étape :

1. Δφ = 43.2965 − 48.8566 = −5.5601° → −0.09704 rad
2. Δλ = 5.3698 − 2.3522 = 3.0176° → 0.05267 rad
3. a = sin²(−0.04852) + cos(0.8527) · cos(0.7557) · sin²(0.02633) ≈ 0.002684
4. d = 2 × 6 371 008,8 × asin(√0.002684) ≈ 661 km

La distance routière réelle entre les deux villes avoisine 775 km — la valeur à vol d'oiseau est toujours un plancher, jamais une estimation routière.

Le cap initial : quelle direction prendre

Les deux mêmes points définissent aussi un cap initial — la direction de la boussole au départ :

θ = atan2( sin Δλ · cos φ₂ , cos φ₁ · sin φ₂ − sin φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ )

Pour Paris → Marseille, cela donne environ 158°, c'est-à-dire sud-sud-est. Notez le mot initial : sur les longues routes, le cap change continuellement le long du grand cercle. Un vol Paris → Los Angeles décolle cap au nord-ouest alors que Los Angeles est au sud-ouest de Paris sur une carte plate.

Pourquoi les trajets réels sont plus longs

La distance orthodromique est le chiffre « à vol d'oiseau ». Les trajets réels ajoutent :

• Routes et rails qui suivent le relief, les vallées et le parcellaire
• Routes maritimes contraintes par les côtes, les canaux et la séparation du trafic
• Trajectoires aériennes façonnées par les couloirs aériens, la météo et les courants-jets

En règle générale, la distance routière dans un réseau développé dépasse la distance orthodromique de 20 à 40 %.

Évitez les calculs

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